Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a=3，b=-9，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在點P，使P點處的切線與x軸平行，求實數(shù)a，b所滿足的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=3，b=-9函數(shù)f（x）的解析式后求導，當導函數(shù)大于0時可求原函數(shù)的增區(qū)間，當導函數(shù)小于0時可求原函數(shù)的減區(qū)間．
（2）對函數(shù)f（x）進行求導，然后根據(jù)f'（x）=0有解可得答案．
解答：解：（Ⅰ）若a=3，b=-9，
則f'（x）=3x²-2ax+b=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
令f^/（x）＞0，即3（x+1）（x-3）＞0．則x＜-1或x＞3．
∴f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，-1），（3，+∞）．
令f^/（x）＜0，即3（x+1）（x-3）＜0．則-1＜x＜3．
∴f（x）的單調減區(qū)間是（-1，3）．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+b，設切點為P（x，y），
則曲線y=f（x）在點P處的切線的斜率k=f'（x）=3x²-2ax+b．
由題意，知f'（x）=3x²-2ax+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0即a²≥3b．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系．屬基礎題．