Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對一切n∈N^*有a_n＞0，且a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（I）求證：對一切n∈N^*有a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ•a_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（I）把兩式a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，相減即可得到

S

2 n+1

-

S

2 n

=

a

3 n+1

，即an+1(Sn+1+Sn)=

a

3 n+1

，又a_n+1＞0，可得2Sn+an+1=

a

2 n+1

；
（II）當(dāng)n≥2時，由a_n+1²-a_n+1=2S_n及

a

2 n

-an=2Sn-1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，進(jìn)而得到a_n+1-a_n=1，（*）
當(dāng)n=1，2時也滿足（*）．?dāng)?shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（III）由b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，可得T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“錯位相減法”及其等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（I）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，

a

3 1

+

a

3 2

+…+

a

3 n

+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，
∴

S

2 n+1

-

S

2 n

=

a

3 n+1

，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n）=

a

3 n+1

，
即an+1(Sn+1+Sn)=

a

3 n+1

，又a_n+1＞0，
∴Sn+1+Sn=

a

2 n+1

，∴2Sn+an+1=

a

2 n+1

，
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）當(dāng)n≥2時，
由a_n+1²-a_n+1=2S_n及

a

2 n

-an=2Sn-1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，（*）
當(dāng)n=1時，

a

3 1

=

S

2 1

=

a

2 1

，a₁＞0，可得a₁=1，
當(dāng)n=2時，

a

3 1

+

a

3 2

=

S

2 2

，得到1+

a

3 2

=(1+a2)2，及a₂＞0，解得a₂=2．
a₂-a₁=1也滿足（*）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，其通項公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（III）∵b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2×(2n-1)

2-1

-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

點評：熟練掌握等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、“錯位相減法”及其a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解題的關(guān)鍵．