Question

已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圓的方程；
（2）若以線段AB為直徑的圓O過點(diǎn)C（異于點(diǎn)A，B），直線x=2交直線AC于點(diǎn)R，線段BR的中點(diǎn)為D，試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）法1：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，依題意，求得D，E，F(xiàn)即可；
法2：可求得線段AC的中點(diǎn)為（-，），直線AC的斜率為k₁=及線段AC的中垂線的方程，從而可求△ABC的外接圓圓心及半徑為r；
法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，從而知△ABC的外接圓是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓；
法4：直線AC的斜率為k₁=，直線BC的斜率為k₂=-，由k₁•k₂=-1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圓是以線段AB為直徑的圓；
（2）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，t），由A，C，R三點(diǎn)共線，而=（m+2，n），=（4，t），則4n=t（m+2）可求得t=，繼而可求得直線CD的方程，于是可求得圓心O到直線CD的距離d=r，從而可判斷直線CD與圓O相切．
解答：解：（1）法1：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由題意可得，解得D=E=0，F(xiàn)=-4，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²-4=0，即x²+y²=4．-----------------（6分）
法2：線段AC的中點(diǎn)為（-，），直線AC的斜率為k₁=，
∴線段AC的中垂線的方程為y-=-（x+），
線段AB的中垂線方程為x=0，
∴△ABC的外接圓圓心為（0，0），半徑為r=2，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|==2，而|OA|=|OB|=2，
∴△ABC的外接圓是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
法4：直線AC的斜率為k₁=，直線BC的斜率為k₂=-，
∴k₁•k₂=-1，即AC⊥BC，
∴△ABC的外接圓是以線段AB為直徑的圓，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
（2）由題意可知以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²=4，設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，t），
∵A，C，R三點(diǎn)共線，
∴∥，----------------（8分）
而=（m+2，n），=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），-----------------（10分）
∴直線CD的斜率為k===，
而m²+n²=4，∴m²-4=-n²，
∴k==-，-----------------（12分）
∴直線CD的方程為y-n=-（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d===2=r，
所以直線CD與圓O相切．-----------------（14分）
點(diǎn)評：本題考查圓的一般方程，考查圓的方程的確定，突出考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓心到直線的距離，考查推理分析與運(yùn)算能力，屬于難題．