Question

命題A：兩曲線F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于點P（x₀，y₀），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）=0（λ為常數(shù)）過點P（x₀，y₀），則命題A是命題B的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：先看能否由命題A成立推出命題B成立，再看當命題B成立時，能否推出命題A成立．

解答：解：∵命題A：兩曲線F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于點P（x₀，y₀），
∴F（x₀，y₀）=0，且G（x₀，y₀）=0，
∴F（x₀，y₀）+λG（x₀，y₀）=0，
∴命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）=0（λ為常數(shù)）過點P（x₀，y₀）成立，故充分性成立．
當命題B成立時，曲線F（x，y）+λG（x，y）=0（λ為常數(shù)）過點P（x₀，y₀），
∴F（x₀，y₀）+λG（x₀，y₀）=0，
但不能推出F（x₀，y₀）=0，且 G（x₀，y₀）=0，只能得出F（x₀，y₀）=-λG（x₀，y₀），
故必要性不成立，
故選A．

點評：本題考查曲線與方程的概念，充分條件、必要條件的判定，注意推理的嚴密性，屬于中檔題．