Question

（示范高中）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)遞推關(guān)系求出a₂的值從而求出b₁的值，然后根據(jù)S_n+1=4a_n+2，則當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n=4a_n-1+2，將兩式作差變形可證得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）即b_n=2b_n-1，證得結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（1）知，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，將a_n-1代入即可．
解答：（1）證明：由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，有a₁+a₂=4a₁+2故a₂=3a₁+2=5
所以 b₁=a₂-2a₁=3．
因?yàn)镾_n+1=4a_n+2①
故當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n=4a_n-1+2②
①-②，得a_n+1=4a_n-4a_n-1
所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又因?yàn)閎_n=a_n+1-2a_n所以b_n=2b_n-1
所以{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．…（4分）
（2）解：由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
所以
因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以
故a_n=（3n-1）•2^n-2…（8分）
（3）解：由（1）知，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2
故S_n=4a_n-1+2=4•（3n-4）•2^n-3+2=（3n-4）•2^n-1+2，n≥2
又S₁=a₁=1
故S_n=（3n-4）•2^n-1+2，n∈N^*…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列判定，以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查了構(gòu)造新數(shù)列和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．