Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}滿足且b₁=5
（1）求數(shù)列{a_n}{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，且，證明：．

Answer 1

（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，2n=2=a₁，所以a_n=2n；
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）證明：==（-）
∴T_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）
∴．
分析：（1）結(jié)合已知條件可得a₁=S₁=2，利用公式a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，再由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），由等比數(shù)列的定義可得{b_n-1}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可求b_n-1進(jìn)一步可得b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）確定數(shù)列通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)求和可求先求T_n，進(jìn)一步可證結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式以及已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．