Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

.
（Ⅰ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，若f（x）=8，求函數(shù)f(x-

π

12

)的值；
（Ⅲ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

12

個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)向下平移5個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達(dá)式并判斷奇偶性．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積表示出函數(shù)f（x）的解析式，然后化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，從而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可解題．
（2）先根據(jù)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，若f（x）=8，求出cos(2x+

π

6

)=-

4

5

，進(jìn)而可得到sin（2x+

π

6

），然后表示出f(x-

π

12

)可得答案．
（3）函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)平移可得到g（x）=5sin2x，再對(duì)函數(shù)g（x）判斷奇偶性即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

=5

3

sinxcosx+2cos2x+4cos2x+sin2x+

3

2

=5

3

sinxcosx+5cos2x+

5

2

=

5

2

3

sin2x+5×

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5；
由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴

π

6

≤x≤

π

2

時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇

5

2

，10].
（Ⅱ）f(x)=5sin(2x+

π

6

)+5=8，則sin(2x+

π

6

)=

3

5

，

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

；
所以cos(2x+

π

6

)=-

4

5

，
f(x-

π

12

)=5sin2x+5=5sin(2x+

π

6

-

π

6

)+5=

3 3

2

+7.
（Ⅲ）由題意知f(x)=5sin(2x+

π

6

)+5→g(x)=5sin[2(x-

π

12

)+

π

6

)+5-5=5sin2x，
所以g（x）=5sin2x；
g（-x）=5sin（-2x）=-5sin2x=-g（x），
故g（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)--奇偶性、值域的有關(guān)問(wèn)題．一般先將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式再解題．