Question

在平面直角坐標系xoy中，設二次函數f（x）=x²+4x+b（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經過這三個交點的圓記為C．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論．

Answer 1

考點：圓的標準方程,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,直線與圓

分析：（1）由題意知，由拋物線與坐標軸有三個交點可知拋物線不過原點即b不等于0，然后拋物線與x軸有兩個交點即令f（x）=0的根的判別式大于0即可求出b的范圍；
（2）設出圓的一般式方程，根據拋物線與坐標軸的交點坐標可知：令y=0得到與f（x）=0一樣的方程；令x=0得到方程有一個根是b即可求出圓的方程；
（3）設圓的方程過定點（x₀，y₀），將其代入圓的方程得x₀²+y₀²+4x₀-y₀+b（1-y₀）=0，因為x₀，y₀不依賴于b得取值，所以得到1-y₀=0即y₀=1，代入x₀²+y₀²+4x₀-y₀=0中即可求出定點的坐標．

解答： 解：．（1）令x=0，得拋物線與y軸交點是（0，b）；
令f（x）=x²+4x+b=0，由題意b≠0且△＞0，解得b＜4且b≠0．
（2）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0這與x²+4x+b=0是同一個方程，故D=4，F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一個根為b，代入得出E=-b-1．
所以圓C的方程為x²+y²+4x-（b+1）y+b=0．
（3）圓C必過定點，證明如下：
假設圓C過定點（x₀，y₀）（x₀，y₀不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，
并變形為x₀²+y₀²+4x₀-y₀+b（1-y₀）=0（*）
為使（*）式對所有滿足b＜4（b≠0）的b都成立，必須有1-y₀=0，結合（*）式得x₀²+y₀²+4x₀-y₀=0，解得

x0=0 y0=1

或

x0=-4 y0=1

經檢驗知，（-4，1）和（0，1）均在圓C上，因此圓C過定點（-4，1）和（0，1）．

點評：本小題主要考查二次函數圖象與性質、圓的方程的求法．是一道綜合題．