Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₃=3，a₁+a₂+…+a₆=21，數列(

1

an

)的前n項和為S_n，若對一切n∈N^*，恒有S2n-Sn＞

m

16

，則m能取到的最大正整數是

7

．

Answer 1

分析：由題意和等差數列的通項公式、前n項和公式，求出首項和公差，再代入通項公式求出a_n，再求出

1

an

和S_n，設
T_n=S_2n-S_n并求出，再求出T_n+1，作差判斷T_n+1-T_n后判斷出T_n的單調性，求出T_n的最小值，列出恒成立滿足的條件求出m的范圍．再求滿足條件的m值．

解答：解：設數列{a_n}的公差為d，由題意得，

a1+2d=3 6a1+15d=21

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=n，且

1

an

=

1

n

，
∴S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
則Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
即Tn+1-Tn=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0
∴T_n+1＞T_n，
則T_n隨著n的增大而增大，即T_n在n=1處取最小值，
∴T₁=S₂-S₁=

1

2

，
∵對一切n∈N^*，恒有S2n-Sn＞

m

16

成立，
∴

1

2

＞

m

16

即可，解得m＜8，
故m能取到的最大正整數是7．

點評：本題是數列與不等式結合的題目，考查了等差數列的通項公式、前n項和公式，判斷數列單調性的方法，以及恒成立問題．