Question

如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E、F、M、N分別是A₁B₁、BC、C₁D₁、B₁C₁的中點(diǎn).

(1)用向量方法求直線EF與MN的夾角；

(2)求直線MF與平面ENF所成角的余弦值；

(3)求二面角N-EF-M的平面角的正切值.

Answer 1

思路解析:本題利用線線角、線面角、面面角的求法.

解：設(shè)=i，=j，=k，以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系A—xyz，

則有E(，0，1，)，F(1，，0)，M(，1，1)，N(1，，1).

(1)∵

∴

∴EF⊥MN，即直線EF與MN的夾角為90°.

(2)由于=(0，0，1)，

∴=0.∴FN⊥MN.

∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.

又MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.

(3)在平面NEF中，過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，連結(jié)MG，由三垂線定理，得MG⊥EF.

∴∠MGN為二面角N-EF-M的平面角.

在Rt△NEF中，NG=

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=

∴二面角M-EF-N的平面角的正切值為.