Question

橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比,并和高的平方成正比,要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁,問斷面的高和寬是多少?

Answer 1

思路分析:橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比,并和高的平方成正比,故可將橫梁強(qiáng)度表示成寬×(高)².

圖1-4-1

解:如圖1-4-1所示,設(shè)斷面的寬為x,高為y,則當(dāng)xy²取極大值時橫梁的強(qiáng)度為最大.又y²=d²-x²,

∴f(x)=xy²=x(d²-x²)(0＜x＜d).

f′(x)=d²-3x².令f′(x)=0,解得x=.

根據(jù)實際,當(dāng)x偏小(接近于0)或偏大(接近于d)時,強(qiáng)度很小,因此f()為強(qiáng)度的極大值且同時為最大值.

答:橫梁鋸成寬為d,高為d時,橫梁的強(qiáng)度最大.

    深化升華 解函數(shù)的有關(guān)最大值、最小值的實際問題,要在分析問題中的各個變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,列出合乎題意的函數(shù)關(guān)系式,并確定函數(shù)的定義域.注意所求的結(jié)果一定要符合問題的實際意義.