Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+sinx}{{x}^{2}+4}$的最大值為M，最小值為m，則M+m=2．

Answer 1

分析 化f（x）為1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，由g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，定義域?yàn)镽，判斷g（x）的奇偶性，由圖象性質(zhì)可得g（x）的最值之和為0，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+sinx}{{x}^{2}+4}$
=$\frac{{x}^{2}+4+4x+sinx}{{x}^{2}+4}$=1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
由g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，定義域?yàn)镽，
可得g（-x）+g（x）=$\frac{-4x-sinx}{{x}^{2}+4}$+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$=0，
可得g（x）為奇函數(shù)，
由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
可得g（x）的最大值a與最小值b的和為0，
則M+m=a+1+b+1=（a+b）+2=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化法，由奇函數(shù)的性質(zhì)：最值之和為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．