如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：AC⊥BC1；
(2)求證：AC1∥平面CDB1；
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

（1）先證明AC⊥平面BCC1B1，再根據(jù)性質(zhì)即可證明
（2）先證明DE∥AC1，再根據(jù)線面平行的判定定理證明
（3）

解析試題分析：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1?平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，又四邊形BCC1B1為正方形．
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)，∴DE∥AC1.
∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1，∴∠CED為AC1與B1C所成的角．
在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，
∴cos∠CED＝＝.
∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.
考點(diǎn)：本小題主要考查線線垂直、線面平行的判定和兩條異面直線所成的角的計(jì)算，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題，要準(zhǔn)確應(yīng)用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理并注意相互轉(zhuǎn)化，求解兩條異面直線的夾角問題時(shí)，要注意夾角的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。

（1）證明：∥平面
（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面
（2）若為直線上任意一點(diǎn)，求幾何體的體積；

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（理科）（本小題滿分12分）如圖分別是正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的直觀圖和正視圖，O，O1分別是上下底面的中心，E是BC中點(diǎn)．

（1）求正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1的體積；
（2）求平面EA1B1與平面A1B1C1的夾角的余弦；
（3）若P是棱A1C1上一點(diǎn)，求CP＋PB1的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面為矩
形，⊥平面，,為上的點(diǎn)，若⊥平面

（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，底面△為正三角形的直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，．

（Ⅰ）求證：；  
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

本題共有2個(gè)小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分.
如圖，已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)是，體積是，分別是棱、的中點(diǎn)．

（1）求直線與平面所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；
（2）求過的平面與該正四棱柱所截得的多面體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱，，
E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，求

（1）求異面直線與B1E所成角的大��；
（2）求四面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,,點(diǎn)在線段上．

（I）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；
（II）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐 的體積．

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