已知定圓C1和兩定點(diǎn)M、N,圓心C1不在MN的中垂線上,過MN作圓C2與圓C1交于P、Q兩點(diǎn),求證:PQ必過一定點(diǎn).
分析:建立直角坐標(biāo)系,得到圓C1的方程和兩定點(diǎn)M、N的坐標(biāo),C2在MN的中垂線上,設(shè)出C2的坐標(biāo)(0,k),
寫出圓C2的方程,將兩圓的方程相減便得到公共弦PQ的方程,再利用直線系過定點(diǎn)得到定點(diǎn)坐標(biāo).
解答:證明:以MN所在的直線為x軸,以其中垂線為 y軸,
建立直角坐標(biāo)系,如圖:設(shè)M(-m,0)、N(m,0),C
2(0,k),
設(shè)定圓C
1 的方程為 (x-a)
2+(y-b)
2=r
2,
圓C
2的方程為 x
2+(y-k)
2=k
2+m
2,
由題意知,a、b、r、m為定值,k為 參數(shù).
將兩圓的方程相減得直線PQ的方程為-2ax+(2k-2b)y+a
2+b
2+m
2-r
2=0,
即2ky+(-2ax-2by+a
2+b
2+m
2-r
2)=0,
由
| 2ky=0 | -2ax-2by+a2+b2+m2-r2=0 |
| |
,
得
,
∴直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查兩圓的位置關(guān)系以及直線和圓的位置關(guān)系,兩圓相交時(shí),將兩圓的方程相減即得公共弦所在的直線方程,直線λ(ax+by+c)+(mx+ny+p)=0經(jīng)過兩直線ax+by+c=0與 mx+ny+p=0的交點(diǎn).