Question

已知橢圓與x軸相切，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（1，1），F(xiàn)₂（5，2），則原點(diǎn)O到其左準(zhǔn)線的距離為

 

．

Answer 1

分析：先求出橢圓幾何量c，a，再設(shè)左準(zhǔn)線的方程，利用第二定義，求得準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答：解：由題意，F(xiàn)₁（1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，-1），|F₁F₂|=

(5-1)2+(2-1)2

=

17

∵橢圓與x軸相切，
∴切點(diǎn)為AF₂與x軸的交點(diǎn)，即（

7

3

，0）
∴2a=|AF₂|=

(5-1)2+(2+1)2

=5，
∵kF1F2=

2-1

5-1

=

1

4

，
∴左準(zhǔn)線的斜率為-4，
故設(shè)左準(zhǔn)線的方程為y=-4x+b，即4x+y-b=0，
∴由第二定義可得

( 7 3 -1)2+11

| 28 3 -b| 17

=

17

5

，
∴b=1或b=

53

3

（舍去），
∴左準(zhǔn)線的方程4x+y-1=0，
∴原點(diǎn)O到其左準(zhǔn)線的距離為

1

17

=

17

17

．
故答案為：

17

17

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．