Question

2．已知P是曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，則|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{9-5}$=2，如圖所示．M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，可得點(diǎn)M是底邊F₁N的中點(diǎn)．又點(diǎn)O是線段F₁F₂的中點(diǎn)，|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，|PF₁|=|PN|，可得∠F₂NM＞∠F₂F₁N，可得|F₁F₂|＞|F₂N|，即可得出．

解答 解：由橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（xy≠0），a=3，b=$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{9-5}$=2，
如圖所示．∵M(jìn)是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，
∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{MP}$，
∴點(diǎn)M是底邊F₁N的中點(diǎn)，
又點(diǎn)O是線段F₁F₂的中點(diǎn)，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{{F}_{2}N}$丨，
∵|PF₁|=|PN|，
∴∠F₂NM＞∠F₂F₁N，
∴|F₁F₂|＞|F₂N|，
∴0＜|OM|$\frac{1}{2}$×2c=c=2．
∴則|OM|的取值范圍是（0，2）．
故答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．