Question

在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（

2

，

π

4

），半徑r=

3

．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

4

），直線l的參數(shù)方程為

x=2+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用圓心坐標(biāo)與半徑求得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得圓C的極坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則|AB|=|t₁-t₂|，化為關(guān)于α的三角函數(shù)求解．

解答：解：（Ⅰ）∵C（

2

，

π

4

）的直角坐標(biāo)為（1，1），
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=3．
化為極坐標(biāo)方程是ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-1=0  …（5分）
（Ⅱ）將

x=2+tcosα y=2+tsinα

代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x-1）²+（y-1）²=3，
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=3，
即t²+2t（cosα+sinα）-1=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα），t₁•t₂=-1．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2+sin2α

．
∵α∈[0，

π

4

），∴2α∈[0，

π

2

），∴2

2

≤|AB|＜2

3

．
即弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是[2

2

，2

3

）…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，直線與圓的位置關(guān)系．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即可．