Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（III）當(dāng)a=2時(shí)，是否存在函數(shù)y=f（x）圖象上兩點(diǎn)以及函數(shù)y=f′（x）圖象上兩點(diǎn)，使得以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ABCD同時(shí)滿足如下三個(gè)條件：①四邊形ABCD是平行四邊形：②AB⊥x軸；③|AB|=4．若存在，指出四邊形ABCD的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，且f′（x）=-3x²+2x+1，f′（2）=-7．由此能求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程．
（Ⅱ）f（x）=-x³+ax²+a²x+1，f′（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a），令f（x）=0，解得x=-

a

3

或x=a．由于a＞0，故-

a

3

＜a，列表討論，能夠求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程|f（x）-f′（x）|=4至少有兩個(gè)相異實(shí)根，且每個(gè)實(shí)根對(duì)應(yīng)一條垂直于x軸且與f （x）、f′（x）圖象均相交的線段．這些線段長(zhǎng)度均相等．由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出滿足題意的平行四邊形ABCD有6個(gè)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，
且f′（x）=-3x²+2x+1，f′（2）=-7．
所以，曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．…（3分）
（Ⅱ）f（x）=-x³+ax²+a²x+1，
f′（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）
令f（x）=0，解得x=-

a

3

或x=a．
由于a＞0，故-

a

3

＜a…（4分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化如下表：

因此，函數(shù)f(x)，在-

a

3

處取得極小值f(-

a

3

)且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=1+a³．…（8分）
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，
則方程|f（x）-f′（x）|=4至少有兩個(gè)相異實(shí)根，
且每個(gè)實(shí)根對(duì)應(yīng)一條垂直于x軸且與f （x）、f′（x）圖象均相交的線段．
這些線段長(zhǎng)度均相等．f（x）=-x³+2x²+4x+1，
f′（x）=-3x²+4x+4
=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f′（x）|
=|-x³+2x²+4x+1-（-3x²+4x+4）|
=|x³-5x²+3|=4…1O分
①當(dāng)x³-5x²+3=4時(shí)．x³-5x-1=0，
令g（x）=x³-5x²-1，g′（x）=3x²-10x
令g′（x）=0，得x=0或x=

10

3

，
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化如下表：
由表格知，g（0）為g（x）的極大值，g(

10

3

)為g（x）的極大值，
而g(0)=-1＜0，g(

10

3

)=-

500

27

-1＜0，
故g（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．  …（11分）
②當(dāng)x³-5x²+3=-4時(shí)，x³-5x²+7=0，
令g（x）=x³-5x²+7，g′（x）=3x²-10x，
由①知g（0）為g（x）的極大值，g(

10

3

)為g（x）的極大值而，
而g(0)=7＞0，g

•

(

10

3

)=-

500

27

+7＜0，
故g（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，…（12分）
由①②知，方程|x³-5x²+3|=4有四個(gè)不同的實(shí)根，
從小到大依次記為x₁、x₂、x₃、x₄，這四個(gè)根對(duì)應(yīng)
的四條線段中的每?jī)蓷l對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形ABCD，
共有（x₁、x₂），（x₁、x₃）₂、x₃），（x₂、x₄），（x₃、x₄）6個(gè)，
所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個(gè)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值和最小值的應(yīng)用，考查滿足條件的四邊形的個(gè)數(shù)的求法．具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．