【題目】已知函數(shù)在處的切線與直線平行.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
(3)記函數(shù),設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)利用導數(shù)和切線的斜率列方程,解方程求得的值.
(2)由(1)求得的解析式.構造函數(shù),利用導數(shù)研究的單調性,以及極值,結合在上恰有兩個零點列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.
(3)利用導數(shù),結合根與系數(shù)關系,求得兩個極值點的關系式,將表示為只含的表達式,由此利用導數(shù)求得的最小值,由此求得的取值范圍.
(1),
∵函數(shù)在 處的切線與直線平行,
∴,解得;
(2)由(1)得,
∴函數(shù),
令,則,
令得,,列表得:
1 | (1,2) | 2 | |||
0 | 0 | ||||
| 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
|
∴當時,的極小值為,又,
∵函數(shù)在上恰有兩個零點
∴即,解得.
(3),∴,
令得,
∵,是的極值點,∴,,∴,
∵,∴解得:,
∴,
令,
則,∴在上單調遞減;
∴當時,∴的最大值為.
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【題目】已知雙曲線的兩個焦點為,,并且經(jīng)過點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點的直線與雙曲線有且僅有一個公共點,求直線的方程.
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【題目】已知拋物線:上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設直線與拋物線交于兩點、,且,是弦中點,過作平行于軸的直線交拋物線于點,得到,再分別過弦、的中點作平行于軸的直線依次交拋物線于點、,得到和,按此方法繼續(xù)下去,解決下列問題:
①求證:;
②計算的面積;
③根據(jù)的面積的計算結果,寫出、的面積,請設計一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法,并求此封閉圖形的面積.
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【題目】以下四個命題:①命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;②“”是“”的充分不必要條件; ③若為假命題,則均為假命題;④對于命題使得,則為,均有.其中,真命題的個數(shù)是 ( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】在平面直角坐標系中,動點到點的距離和它到直線的距離相等,記點的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)設點在曲線上,軸上一點(在點右側)滿足,若平行于的直線與曲線相切于點,試判斷直線是否過點?并說明理由.
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【題目】為了適應新高考改革,某校組織了一次新高考質量測評(總分100分),在成績統(tǒng)計分析中,抽取12名學生的成績以莖葉圖形式表示如圖,學校規(guī)定測試成績低于87分的為“未達標”,分數(shù)不低于87分的為“達標”.
(1)求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù);
(2)在這12名學生中從測試成績介于80~90之間的學生中任選2人,求至少有1人“達標”的概率.
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【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為、,是橢圓的上頂點,,且的面積為1.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設、是橢圓上的兩個動點,,求當的面積取得最大值時,直線的方程.
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【題目】(2017高考新課標Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【題目】某學校為了解高二學生學習效果,從高二第一學期期中考試成績中隨機抽取了25名學生的數(shù)學成績(單位:分),發(fā)現(xiàn)這25名學生成績均在90~150分之間,于是按,,…,分成6組,制成頻率分布直方圖,如圖所示:
(1)求的值;
(2)估計這25名學生數(shù)學成績的平均數(shù);
(3)為進一步了解數(shù)學優(yōu)等生的情況,該學校準備從分數(shù)在內的同學中隨機選出2名同學作為代表進行座談,求這兩名同學分數(shù)在不同組的概率.
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