【題目】已知函數(shù)在處的切線與直線平行.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)記函數(shù),設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),若,且恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)和切線的斜率列方程,解方程求得的值.
(2)由(1)求得的解析式.構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,以及極值,結(jié)合在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.
(3)利用導(dǎo)數(shù),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,求得兩個(gè)極值點(diǎn)的關(guān)系式,將表示為只含的表達(dá)式,由此利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的取值范圍.
(1),
∵函數(shù)在 處的切線與直線平行,
∴,解得;
(2)由(1)得,
∴函數(shù),
令,則,
令得,,列表得:
1 | (1,2) | 2 | |||
0 | 0 | ||||
| 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
|
∴當(dāng)時(shí),的極小值為,又,
∵函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)
∴即,解得.
(3),∴,
令得,
∵,是的極值點(diǎn),∴,,∴,
∵,∴解得:,
∴,
令,
則,∴在上單調(diào)遞減;
∴當(dāng)時(shí),∴的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線:上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)、,且,是弦中點(diǎn),過(guò)作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn),得到,再分別過(guò)弦、的中點(diǎn)作平行于軸的直線依次交拋物線于點(diǎn)、,得到和,按此方法繼續(xù)下去,解決下列問(wèn)題:
①求證:;
②計(jì)算的面積;
③根據(jù)的面積的計(jì)算結(jié)果,寫出、的面積,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法,并求此封閉圖形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題:①命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;②“”是“”的充分不必要條件; ③若為假命題,則均為假命題;④對(duì)于命題使得,則為,均有.其中,真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等,記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在曲線上,軸上一點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè))滿足,若平行于的直線與曲線相切于點(diǎn),試判斷直線是否過(guò)點(diǎn)?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了適應(yīng)新高考改革,某校組織了一次新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)(總分100分),在成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析中,抽取12名學(xué)生的成績(jī)以莖葉圖形式表示如圖,學(xué)校規(guī)定測(cè)試成績(jī)低于87分的為“未達(dá)標(biāo)”,分?jǐn)?shù)不低于87分的為“達(dá)標(biāo)”.
(1)求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù);
(2)在這12名學(xué)生中從測(cè)試成績(jī)介于80~90之間的學(xué)生中任選2人,求至少有1人“達(dá)標(biāo)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓的上頂點(diǎn),,且的面積為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,求當(dāng)的面積取得最大值時(shí),直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解高二學(xué)生學(xué)習(xí)效果,從高二第一學(xué)期期中考試成績(jī)中隨機(jī)抽取了25名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分),發(fā)現(xiàn)這25名學(xué)生成績(jī)均在90~150分之間,于是按,,…,分成6組,制成頻率分布直方圖,如圖所示:
(1)求的值;
(2)估計(jì)這25名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù);
(3)為進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)優(yōu)等生的情況,該學(xué)校準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)中隨機(jī)選出2名同學(xué)作為代表進(jìn)行座談,求這兩名同學(xué)分?jǐn)?shù)在不同組的概率.
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