Question

已知函數(shù)和的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）解不等式；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) 解集為；(3) ．

【解析】

試題分析：(1)兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)或某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，一般設(shè)待求解析式的函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出這點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)然這里是用表示的式子，然后把點(diǎn)代入已知解析式，就能求出結(jié)論；(2)這是含有絕對(duì)值的不等式，解題時(shí)，一般按照絕對(duì)值的定義分類(lèi)討論以去掉絕對(duì)值符號(hào)，便于解題；(3) ，這是含參數(shù)的二次函數(shù)，解題時(shí)，首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類(lèi)，即分二次項(xiàng)系數(shù)為0，不為0，其中不為0還要分為是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)進(jìn)行討論，在二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，只要討論其對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的關(guān)系就能求得結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，           （1分）

所以，故．     （2分）

所以，函數(shù)的解析式是．     （1分）

（2）由，得，    （1分）

即．      （1分）

當(dāng)時(shí)，有，△，不等式無(wú)解；   （1分）

當(dāng)時(shí)，有，，解得．  （2分）

綜上，不等式的解集為．       （1分）

（3）．  （1分）

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意．   （1分）

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)．    （1分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022807272334521757/SYS201402280729057731936724_DA.files/image032.png">在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，

1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，故，

解得；                 （1分）

2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，故，解得． （1分）

綜上，的取值范圍是．      （1分）

考點(diǎn)：(1)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；(2)含絕對(duì)值的不等式；(3)函數(shù)的單調(diào)性．