分析:(Ⅰ)設橢圓的標準方程為
+=1(a>b>0),把點
(2,)代入橢圓方程得一方程,由離心率為
得
=,由a
2=b
2+c
2得方程,聯(lián)立解方程組即可;
(Ⅱ)把
k=時的直線方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程,則
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,代入韋達定理即可求得定值;
(Ⅲ)由直線與圓相切可得k,t的關系式①,把直線方程代入橢圓方程消掉y得x的二次方程,設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),由韋達定理、向量運算可得P點坐標,代入橢圓方程可得一等式②,由①②消掉k,得λ關于t的函數(shù)式,借助t的范圍即可求得λ的范圍;
解答:解:(Ⅰ) 設橢圓的標準方程為
+=1(a>b>0),
由已知得:
,解得
,
所以橢圓的標準方程為:
+=1;
(Ⅱ) 由
,得
6x2+4tx+4t2-24=0,
設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),則
x1+x2=,
x1x2=,
則
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-)2-2•=8,為定值.
(Ⅲ)因為直線l:y=kx+t與圓(x-1)
2+y
2=1相切,
所以,
=1⇒2k=(t≠0),
把y=kx+t代入
+=1并整理得:(3+4k
2)x
2+8ktx+4t
2-24=0,
設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),
則有
x1+x2=-,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,
因為
λ=(x1+x2,y1+y2),所以
P(,),
又因為點P在橢圓上,
所以
+=1⇒λ2==.
因為t
2>0,所以
()2+()+1>1,
所以0<λ
2<2,所以λ的取值范圍為
(-,0)∪(0,).
點評:本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系,考查學生分析問題解決問題的能力,韋達定理、判別式、點到直線的距離公式等是解決該類題目的基礎知識,要熟練掌握.