Question

已知數列{a_n}的前n項和是s_n=n²-2n+2，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠0）．求數列{b_n}前n項和的公式．

Answer 1

分析：（1）利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n；
（2）對x=1和x≠1分類討論，及利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1-2+2=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+2-[（n-1）²-2（n-1）+2]
=2n-3．
∴an=

1，n=1 2n-3，n≥2

．
（2）設數列{b_n}前n項和為T_n．
b₁=x，
n≥2時，bn=(2n-3)xn．
∴當n=1時，T₁=b₁=x；
當n≥2時，T_n=x+x²+3x³+…+（2n-3）xⁿ，
xTn=x2+x3+3x4+…+（2n-5）xⁿ+（2n-3）xⁿ⁺¹
∴（1-x）T_n=x+2x³+2x⁴+…+2xⁿ-（2n-3）xⁿ⁺¹
①x≠1，T_n=

x

1-x

+

2x3-2xn+1

(1-x)2

-

(2n-3)xn+1

1-x

．
②當x=1時，T₁=1，
n≥2時，T_n=1+1+3+…+（2n-3）=1+（n-1）²=n²-2n+2．

點評：熟練掌握“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、分類討論、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式等是解題的關鍵．