Question

【題目】如圖，正方體的棱長為，點、為棱、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明出平面平面，利用面面平行的性質可證明出平面；

（2）取的中點，連接、、、、，證明出、、、四點共面，利用等體積法計算出點到平面的距離，即為所求.

（1）取的中點，連接、，

在正方體中，且，

、分別為、的中點，且，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面，

、分別為、的中點，，

平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面；

（2）取的中點，連接、、、、，

、分別為、的中點，，

在正方體中，且，

所以，四邊形是平行四邊形，，，

、、、四點共面，

的面積為，

平面，三棱錐的體積為.

由勾股定理得，，.

在中，，

，

的面積為，

設點到平面的距離為，由，

即，解得.

因此，點到平面的距離為.