13.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),實(shí)數(shù)a是常數(shù),函數(shù)f(x)=ex-ax-1的定義域?yàn)椋?,+∞).
(1)設(shè)a=e,求函數(shù)f(x)在切點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)設(shè)g(x)=ln(ex+$\frac{e}{3}$x3-1)-lnx,若?x>0,f(g(x))<f(x),求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f(1),f′(1),求出切線方程即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(3)設(shè)F(x)=ex-x-1,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x>0時(shí),ex+$\frac{e}{3}$x3-1>x,設(shè)h(x)=xex-ex-$\frac{e}{3}$x3+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可.

解答 解:(1)a=e時(shí),f(x)=ex-ex-1,f(1)=-1,
f′(x)=ex-e,可得f′(1)=0,
故a=e時(shí),函數(shù)f(x)在切點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是y=-1;
(2)f(x)=ex-ax-1,f′(x)=ex-a,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,則f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=ex-a=0,得x=lna,
∵f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
則f(x)在(0,lna]上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
(3)設(shè)F(x)=ex-x-1,則F′(x)=ex-1,
∵x=0時(shí),F(xiàn)′(x)=0,x>0時(shí),F(xiàn)′(x)>0,
∴F(x)在[0,+∞)遞增,
∴x>0時(shí),F(xiàn)(x)>F(0),化簡(jiǎn)得:ex-1>x,
∴x>0時(shí),ex+$\frac{e}{3}$x3-1>x,
設(shè)h(x)=xex-ex-$\frac{e}{3}$x3+1,
則h′(x)=x(ex-ex),
設(shè)H(x)=ex-ex,H′(x)=ex-e,
由H′(x)=0,得x=1時(shí),H′(x)>0,
x<1時(shí),H′(x)<0,
∴x>0時(shí),H(x)的最小值是H(1),
x>0時(shí),H(x)≥H(1),即H(x)≥0,
∴h′(x)≥0,可知函數(shù)h(x)在(0,+∞)遞增,
∴h(x)>h(0)=0,化簡(jiǎn)得ex+$\frac{e}{3}$x3-1<xex,
∴x>0時(shí),x<ex+$\frac{e}{3}$x3-1<xex
∴x>0時(shí),lnx<ln(ex+$\frac{e}{3}$x3-1)<lnx+x,
即0<ln(ex+$\frac{e}{3}$x3-1)-lnx<x,
即x>0時(shí),0<g(x)<x,
當(dāng)a≤1時(shí),由(2)得f(x)在(0,+∞)遞增,
得f(g(x))<f(x)滿足條件,
當(dāng)a>1時(shí),由(2)得f(x)在(0,lna)遞減,
∴0<x≤lna時(shí),f(g(x))>f(x),與已知?x>0,f(g(x))<f(x)矛盾,
綜上,a的范圍是(-∞,1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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