Question

已知圓E的圓心在x軸上，且與y軸切于原點．過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F作垂直于x軸的直線l分別交圓和拋物線于A、B兩點．已知l截圓所得的弦長為

3

，且2

FA

=

3

FB

．
（Ⅰ）求圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P在拋物線運(yùn)動，M、N在y軸上，且⊙E的切線PM（其中B為切點）且PN⊙E與有一個公共點，求△PMN面積S的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-r）²+y²=r²（r＞0），由已知條件推導(dǎo)出|EF|=r-

p

2

．rp-

p2

4

=

3

4

，由此能求出拋物線的方程和圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），M（0，b），N（0，c），設(shè)b＞c，PM的方程為：y-b=

y0-b

x0

x，由直線PM與圓（x-1）²+y²=1相切，得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，由直線PC與圓（x-1）²+y²=1相切，得(x0-2)c2+2y0c-x0=0，由此利用韋達(dá)定理能求出S_△PMN的最小值為8．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-r）²+y²=r²（r＞0），
由已知有F（

p

2

，0），即|EF|=r-

p

2

．
∵l截得的弦長為

3

，
∴

r2-(r- p 2 )2

=

3

2

，整理得rp-

p2

4

=

3

4

，①
又∵2

FA

=

3

FB

，
∴2×

3

2

=p×

3

，解得p=1．
代入①，解得r=1．
∴拋物線的方程為y²=2x，
圓的方程為（x-1）²+y²=1．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），M（0，b），N（0，c），不妨設(shè)b＞c，
PM的方程為：y-b=

y0-b

x0

x，整理得：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
又直線PM與圓（x-1）²+y²=1相切，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
化簡得x02=2x0b(y0-b)+x02b2．
按題意，x₀＞2，上式化簡得，(x0-2)b2+2y0b-x0=0．…（8分）
同理，由直線PC與圓（x-1）²+y²=1相切，
得(x0-2)c2+2y0c-x0=0．…（9分）
∴由根與系數(shù)的關(guān)系知，b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，
從而(b-c)2=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

，…（11分）
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的點，
∴y₀²=2x₀，
∴(b-c)2=

4x02

(x0-2)2

，即b-c=

2x0

x0-2

．
故S_△PMN=

1

2

(b-c)•x0=

x0

x0-2

•x0=

4

x0-2

+(x0-2)+4
≥2

4

+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)(x0-2)2=4時，上式取等號，此時x₀=4，y₀=±2

2

，
∴S_△PMN的最小值為8．…（14分）

點評：本題考查圓的方程和拋物線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．