Question

在△ABC中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，f(x)=4cosxsin2(

π

4

+

x

2

)+

3

cos2x-2cosx．
（1）若f（B）=2，求角B；
（2）若f（B）-m＞2有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求f(

π

4

)+f(

2π

4

)+f(

3π

4

)+…+f(

2003π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）f（B）-m＞2有解?2+m＜[f（B）]_max，只要求出[f（B）]_max，即可；
（3）利用其周期性即可得出．

解答：解：（1）∵sin2(

π

4

+

x

2

)=

1-cos( π 2 +x)

2

=

1+sinx

2

，
∴f（x）=4cosx×

1+sinx

2

+

3

cos2x-2cosx
=2cosx+sin2x+

3

cos2x-2cosx
=2sin(2x+

π

3

)．
∵f（B）=2，∴2sin(2B+

π

3

)=2，∴sin(2B+

π

3

)=1．
∵0＜B＜π，∴

π

3

＜2B+

π

3

＜2π+

π

3

，
∴2B+

π

3

=

π

2

，解得B=

π

12

．
（2）由（1）可知：f（B）∈[-2，2]，
∵f（B）-m＞2有解，∴2+m＜[f（B）]_max，∴2+m＜2，解得m＜0．
∴m的取值范圍是（-∞，0）．
（3）∵f（x）的周期是π，且f(

π

4

)+f(

2π

4

)+f(

3π

4

)+f(π)=2[sin(

π

2

+

π

3

)+sin(π+

π

3

)+sin(

3π

2

+

π

3

)+sin(2π+

π

3

)]
=2[cos

π

3

-sin

π

3

-cos

π

3

+sin

π

3

]=0．
∴f(

π

4

)+f(

2π

4

)+f(

3π

4

)+…+f(

2003π

4

)
=500×4×0+f(

2001π

4

)+f(

2002π

4

)+f(

2003π

4

)=f(

π

4

)+f(

2π

4

)+f(

3π

4

)
=2×(-sin

π

3

)=-

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式、把問題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．