Question

12、已知函數(shù)f（x）=x²-2x，x∈[a，b]的值域為[-1，3]，則b-a的取值范圍是

[2，4]

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-2x的單調(diào)性：在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，可知f（x）在R上的最小值為f（1）=-1，因此可以按如下兩種情況：①f（a）=3解出a=-1，此時1≤b≤3；②若f（b）=3解出b=3，此題-1≤a≤1．據(jù)此即可得出答案．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=x²-2x在區(qū)間（-∞，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
可知f（x）在R上的最小值為f（1）=-1，且f（-1）=f（3）=3，
①當a=-1時，因為x∈[a，b]的值域為[-1，3]，
所以必有1∈[a，b]，故1≤b且f（b）≤3，解得1≤b≤3；
②當b=3時，因為x∈[a，b]的值域為[-1，3]，
所以必有1∈[a，b]，故a≤1且f（a）≤3，解得-1≤a≤1；
綜上可得，b-a的最小值為1-（-1）=2或3-1=2，最大值為3-（-1）=4
故答案為：[2，4]

點評：本題考查二次函數(shù)的值域問題，屬于簡單題，抓住二次函數(shù)圖象的對稱性是解決本題的關鍵．