Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1(ω＞0，x∈R)，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)了y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過兩角和與差的余弦公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，通過函數(shù)的周期，求出ω，然后求出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由第一問確定的f（x）解析式，根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”表示出g（x），利用x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出g（x）的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωx+cos(ωx+

π

3

)+cos(ωx-

π

3

)-1
=

3

sinωx+

1

2

cosωx-

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

ω

=π；
∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（Ⅱ）依題意，將函數(shù)f（x）昀圖象向右平移

π

6

個單位，
得到函數(shù)g（x）=2sin（2x-

π

3

+

π

6

）-1=2sin（2x-

π

6

）-1的圖象，
函數(shù)g（x）的解析式g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1．
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）-1≤1
函數(shù)y=g(x)在[0，

π

2

]上的值域為[-2，1]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的平移規(guī)律，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．