Question

18．在邊長為1的正△ABC中，D，E是邊BC的兩個三等分點（D靠近于點B），則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$等于（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $\frac{13}{18}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AE}$分別用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展開后得答案．

解答 解：如圖，

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=1$，＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=60°，
∵D，E是邊BC的兩個三等分點，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{2}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{2}{9}+\frac{5}{9}×1×1×\frac{1}{2}+\frac{2}{9}=\frac{13}{18}$．
故選：C．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．