Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為AC的中點(diǎn)．
（I）若，求點(diǎn)A到平面BEC₁的距離；
（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，二面角E-BC₁-C的正弦值為？

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及正三棱錐的特點(diǎn)及點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)可以得到BE垂直于平面ACC₁A₁，所以要求點(diǎn)A到平面BEC₁的距離，利用三棱錐的等體積法即可求解；
（II）由于要求二面角E-BC₁-C的正弦值為，不妨假設(shè)比值為x，利用二面角的值求解出x的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意畫(huà)出圖形為：（即點(diǎn)A到平面的距離為h）

∵三棱錐為正三棱錐，且點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥平面ACC₁A₁
又∵AB=2，AA₁=，∴BE=，
對(duì)于三棱錐A-BEC₁的體積為：⇒h=
故點(diǎn)A到平面BEC₁的距離為．

（II）由題意畫(huà)圖如下：

由（I）可以知道平面BEC₁與平面ACC₁A₁垂直且交線為EC₁，
所以在平面ACC₁A₁中過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EC₁，有三垂線定理可以做出已知的二面角的平面角為∠CNM，
不妨假設(shè)AB=1，則A₁A=x，在直角△ECC₁中利用三角形的面積相等可以得到：CM=，
在直角三角形BCC₁中同理可得：CN=，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=⇒x=1或x=-1（舍）
所以當(dāng)=1時(shí)，使得二面角E-BC₁-C的正弦值為；
故答案為：比值1．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力，正三棱錐的特點(diǎn)及利用三棱錐的等體積法求距離，另外還考查了利用三垂線定理作出二面角的平面角及利用假設(shè)建立比值的等式，然后求解的方程的思想．