Question

（2013•甘肅三模）選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF•EC．
（1）求證：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．

Answer 1

分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用對(duì)頂角的性質(zhì)即可證明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，進(jìn)而證明結(jié)論；
（II）利用（I）的結(jié)論可得BP=

15

4

，再利用切割線定理可得PA²=PB•PC，即可得出PA．

解答：（I）證明：∵DE²=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴

EA

EF

=

EP

ED

，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE²=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴3²=2EC，∴CE=

9

2

．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴

9

2

×3=2EP，解得EP=

27

4

，
∴BP=EP-EB=

27

4

-3=

15

4

．
∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PB•PC，
∴PA2=

15

4

×(

27

4

+

9

2

)，解得PA=

15 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、相交弦定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．