Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E為棱PC的中點(diǎn)

（I）證明：平面PBC⊥平面PCD；

（II）求直線DE與平面PAC所成角的正弦值；

（III）若F為AD的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得FM⊥BD？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（II）（III）存在，=

【解析】

（I）由面面垂直的性質(zhì)定理得PD⊥底面ABCD，從而可得BC⊥平面PCD，然后可證得面面垂直；

（II）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量和直線的方向向量，平面的法向量和直線的方向向量的余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦；

（III）設(shè)=λ（0≤λ≤1），由求得即可．

（I）∵平面PAD⊥底面ABCD，又PD⊥AD，

∴PD⊥底面ABCD

∴PD⊥BC

又∵底面ABCD為正方形，BC⊥CD

∴BC⊥平面PCD

∴平面PBC⊥平面PCD，

（II）由（I）知，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD

如圖以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

不妨設(shè)PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），

由E為棱PC的中點(diǎn)，得E（0，1，1），

向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），設(shè)=(x,y,z)為平面PAC的法向量，則

，即

不妨令x=1,可得=（1，1，1）為平面PAC的一個(gè)法向量

設(shè)直線DE與平面PAC所成角為θ

所以sinθ==

所以，直線DE與平面PAC所成角的正弦值為

（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）

由點(diǎn)M在棱PB上，設(shè)=λ（0≤λ≤1）

故=+=（1-2λ，2-2λ，2λ）

由FM⊥DB，得·=0

因此（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0

解得λ=，所以=