Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（1）求證：EF∥平面BC₁D₁；
（2）求證：EF⊥平面B₁FC．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面BD₁C₁，只需在平面BD₁C₁中找一直線與EF平行，根據(jù)E、F分別為DD₁、DB的中點，可得EF∥BD₁，最后根據(jù)線面平行的判定定理可得結論；
（2）欲證EF⊥平面B₁FC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EF垂直平面B₁FC內(nèi)兩相交直線即，利用三角形勾股定理可得EF⊥FB₁，EF⊥FC，從而可得結論．

解答：證明（1）∵E、F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF是三角形BD₁D的中位線，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面BD₁C₁，BD₁?平面BD₁C₁，…（5分）
所以EF∥平面BD₁C₁．…（6分）
（2）在△EFB₁中，EF=

3

，FB1=

6

，EB₁=3，
∵EF2+F

B

2 1

=3+6=9=E

B

2 1

，所以∠EFB1=900，即EF⊥FB₁，…（9分）
在△EFC中，EF=

3

，FC=

2

，EC=

5

，
∵EF²+FC²=3+2=5=EC²，所以∠EFC=90°，即EF⊥FC，…（12分）
又FB₁∩FC=F，…（13分）
故EF⊥平面B₁FC．…（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，同時考查了推理論證的能力和空間想象能力，屬于中檔題．