Question

已知數(shù)列{a_n}中，（n∈N*）．
（1）證明數(shù)列{na_n}（n≥2）為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{n²a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（1）證明：：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=①，
∴n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=②
①-②得na_n=
3na_n=（n+1）a_n+1
即
∵a₁=1，∴a₂=1
∴
∴n≥2時(shí)，數(shù)列{na_n}為等比數(shù)列
（2）由（1）可得na_n=
∴
則當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=1+2[2×3⁰+3×3¹+…+n×3^n-2]
3T_n=3+2[2×3¹+3×3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1]
相減得2T_n=2+2[n•3^n-1-（2+3+3²+2³+…+3^n-2）]=（2n-1）3^n-1+1（n≥2）
T_n=（n≥2）
又T₁=1，符合T_n的形式，
∴T_n=（2n-1）•3ⁿ+1（n∈N^*）
分析：（1）根據(jù)題意，可得a₁+2a₂+3a₃+…+na_n-1=，兩者相減，整理可得，從而可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列
（2）根據(jù)題意，求出n²a_n通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和
點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握