Question

若函數(shù)f(x)=

|x|

x+2

-kx3有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先可判斷k一定不是0，進(jìn)而可得到函數(shù)的一定零點(diǎn)；再由等x≠0時，將函數(shù)f（x）有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為

1

k

=

x3(x+2)

|x|

有個兩相異的非零實(shí)根的問題，即為函數(shù)f1(x)=

1

k

與f2(x)=

x3(x+2)

|x|

圖象有兩不同的交點(diǎn)，然后畫出函數(shù)f₂（x）的圖象求出最小值即可確定k的范圍．

解答：解：當(dāng)k=0時，不合題意．x=0顯然為函數(shù)的一個零點(diǎn)．
x≠0時，轉(zhuǎn)化為方程

1

k

=

x3(x+2)

|x|

有個兩相異的非零實(shí)根，
亦即函數(shù)f1(x)=

1

k

與f2(x)=

x3(x+2)

|x|

圖象有兩不同的交點(diǎn)．
由f2(x)=

x3(x+2)

|x|

=

x3+2x2     x＞0 -(x3+2x2)，x＜0.

，
在直角坐標(biāo)系中畫出其圖象，結(jié)合圖象不難得出結(jié)論．
故答案為：{k|k＜-

27

32

或k＞0}．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查以形助數(shù)的思想．要充分理解并要靈活運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一致性．