Question

（14分）（2011•天津）已知數列{a_n}與{b_n}滿足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，證明{c_n}是等比數列
（Ⅲ）設S_n為{a_n}的前n項和，證明++…++≤n﹣（n∈N^*）

Answer 1

（Ⅰ）a₂=﹣ a₃=8（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）推出b_n的表達式，分別當n=1時，求出a₂=﹣；當n=2時，解出a₃=8；
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，利用等比數列的定義，證明{c_n}是等比數列；
（Ⅲ）求出S_2n，a_2n，S_2n﹣1，a_2n﹣1，求出+的表達式，然后求出++…++的表達式，利用放縮法證明結果．
（Ⅰ）解：由b_n=，（n∈N^*）可得b_n=
又b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，
當n=1時，a₁+2a₂=﹣1，可得由a₁=2，a₂=﹣；
當n=2時，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（Ⅱ）證明：對任意n∈N^*，a_2n﹣1+2a_2n=﹣2^2n﹣1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②﹣①，得a_2n+1﹣a_2n﹣1=3×2^2n﹣1，即：c_n=3×2^2n﹣1，于是
所以{c_n}是等比數列．
（Ⅲ）證明：
a1=2，由（Ⅱ）知，當k∈N^*且k≥2時，
a_2k﹣1=a₁+（a₃﹣a₁）+（a₅﹣a₃）+（a₇﹣a₅）+…+（a_2k﹣1﹣a_2k﹣3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k﹣3）=2+3×=2^2k﹣1，
故對任意的k∈N^*，a_2k﹣1=2^2k﹣1．
由①得2^2k﹣1+2a_2k=﹣2^2k﹣1+1，所以k∈N^*，
因此，
于是，．
故=
=
所以，對任意的n∈N^*，++…++=（+）+…+（+）
=
=
=n﹣
≤n﹣﹣=n﹣（n∈N^*）
點評：本題考查等比數列的定義，等比數列求和等基礎知識，考查計算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現問題解決問題的能力以及分類討論思想．