Question

2．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)C是橢圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，直線x=m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB的周長最大時，CD∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時周長最大，求得m的值，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用k_OA=k_CD，即可求出和c的關(guān)系，求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F₂．如圖：
由橢圓的定義得△FAB的周長為：
丨AB丨+丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨+（2a-丨AF₂丨）+（2a-丨BF₂丨）=4a+丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨；
∵丨AF₂丨+丨BF₂丨≥丨AB丨；
∴丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨≤0，當(dāng)AB過點(diǎn)F₂時取等號；
∴△FAB的周長：丨AB丨+丨AF丨+丨BF丨=4a+丨AB丨-丨AF₂丨-丨BF₂丨≤4a；
∴△FAB的周長的最大值是4a，
則m=c，則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由CD∥OA，則k_OA=k_CD，即$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$=$\frac{a}$，即b=c，
則a²=b²+c²=2c²，則a=$\sqrt{2}$c，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．