Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（Ⅰ）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），令g（x）=2x²+2x+a，由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關(guān)于x₂的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可證得不等式．

解答：解：（I）f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

(x＞-1)
令g（x）=2x²+2x+a，其對(duì)稱軸為x=-

1

2

．
由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于-1的不相等的實(shí)根，
其充要條件為

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

，得0＜a＜

1

2

（1）當(dāng)x∈（-1，x₁）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）內(nèi)為增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）內(nèi)為減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
（II）由（I）g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x2＜0，a=-（2x²₂+2x₂）
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）
設(shè)h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x＞-

1

2

)，
則h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）當(dāng)x∈(-

1

2

，0)時(shí)，h'（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0)單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x∈(-

1

2

，0)時(shí)，h(x)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

故f(x2)=h(x2)＞

1-2In2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．