如果關于x的方程
|x|
x+4
=kx2
有4個不同的實數(shù)解,則實數(shù)k的取值范圍是( 。
分析:由于方程帶有絕對值,故需要分x=0,x<0,x>0三類去掉絕對值,在每一類中再依據(jù)參數(shù)k值的不同,找出滿足方程解的個數(shù),最后綜合三類情況即可得到方程
|x|
x+4
=kx2
有4個不同的實數(shù)解的參數(shù)的范圍.
解答:解:方程
|x|
x+4
=kx2

(1)由方程的形式可以看出,x=0恒為方程①的一個解
(2)當x<0且x≠-2時方程①有解,則
-x
x+4
=kx2
即kx2+4kx+1=0
當k=0時,方程kx2+4kx+1=0無解;
當k≠0時,△=16k2-4k≥0即k<0或k≥
1
4
時,方程kx2+4kx+1=0有解.
設方程kx2+4kx+1=0的兩個根分別是x1,x2則x1+x2=-4,x1x2=
1
k

當k>
1
4
時,方程kx2+4kx+1=0有兩個不等的負根;
當k=
1
4
時,方程kx2+4kx+1=0有兩個相等的負根;
當k<0時,方程kx2+4kx+1=0有一個負根.
(3)當x>0時,方程①有解,則
x
x+4
=kx2
,kx2+4kx-1=0
當k=0時,方程kx2+4kx-1=0無解;
當k≠0時,△=16k2+4k≥0即k>0或k≤-
1
4
時,方程kx2+4kx-1=0有解.
設方程kx2+4kx-1=0的兩個根分別是x3,x4
∴x3+x4=-4,x3x4=-
1
k

∴當k>0時,方程kx2+4kx-1=0有一個正根,
當k≤-
1
4
時,方程kx2+4kx+1=0沒有正根
綜上可得,當k∈(
1
4
,+∞)時,方程
|x|
x+4
=kx2
有4個不同的實數(shù)解.
點評:本題考查由方程有四個解來求參數(shù)的范圍,對思維的嚴密性要求很高,需要熟練運用分類討論的思想,因為題目中有太多的不確定性,本題難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為
1
9
1
9

(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=
4
對稱,當x≥
4
時,f(x)=cosx,如果關于x的方程f(x)=a有四個不同的解,則實數(shù)a的取值范圍為
(-1,-
2
2
)
(-1,-
2
2
)


(3)設向量
a
,
b
,
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是
4
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果關于x的方程x2+(m-3)x+m=0的兩根都為正數(shù),則m的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•寧波模擬)如果關于x的方程
x-1
=kx
在區(qū)間[1,5]上有解,則有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果關于x的方程x += a有且僅有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍是(   )

(A)[,+ ∞ ])           (B)[,+ ∞ ])           (C)[ 1,+ ∞ ])            (D)[ 2,+ ∞ ])

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