Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

an+1，n為奇數(shù) -2an，n為偶數(shù)

且a₁=1，則a₃-a₁=

-5

；若設(shè)b_n=a_2n+2-a_2n，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為

b_n=-5（-2）^n-1

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于{a_n}的對(duì)應(yīng)法則，分別取n=1和n=2，算出a₂、a₃之值，即可得到a₃-a₁=-5；
（2）由{a_n}的遞推關(guān)系，算出a_2n+2=-2a_2n+1，從而得到b_n=-3a_2n+1，進(jìn)而有b_n+1=6a_2n-2=-2b_n，所以{b_n}構(gòu)成首項(xiàng)是-5，公比為-2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可算出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an+1，n為奇數(shù) -2an，n為偶數(shù)

，
∴a₂=a₁₊₁=a₁+1=2，而a₃=a₂₊₁=-2a₂=-4，
因此，a₃-a₁=-4-1=-5．
（2）根據(jù)題意，得a_2n+2=a_2n+1+1=-2a_2n+1，
∴b_n=a_2n+2-a_2n=-3a_2n+1，
從而b_n+1=-3a_2n+2+1=-3（-2a_2n+1）+1=6a_2n-2，
∴b_n+1=-2b_n，
可得{b_n}構(gòu)成首項(xiàng)b₁=a₄-a₂=-5，公比為-2的等比數(shù)列，
因此，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=-5（-2）^n-1．
故答案為：-5，b_n=-5（-2）^n-1

點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列{a_n}遞推式，求數(shù)列b_n=a_2n+2-a_2n的通項(xiàng)公式，著重考查了數(shù)列遞推關(guān)系和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬于中檔題．