Question

已知函數(shù)，（其中常數(shù)）.

（1）當(dāng)時，求的極大值；

（2）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，曲線上總存在相異兩點(diǎn)、，使得曲線

在點(diǎn)、處的切線互相平行，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的極大值為；（2）詳見解析；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值即可；（2）先求出導(dǎo)數(shù)，并求出方程的兩根和，對這兩根的大小以及兩根是否在區(qū)間進(jìn)行分類討論，并借助導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；（3）先利用函數(shù)在、兩點(diǎn)處的切線平行得到，通過化簡得到，利用基本不等式轉(zhuǎn)化為

在上恒成立，于是有，進(jìn)而求出的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時，，定義域為，

所以，

令，解得或，列表如下：

	減	極小值	增	極大值	減

故函數(shù)在處取得極大值，即；

（2），

由于，解方程，得，，

①當(dāng)時，則有，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

即函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當(dāng)時，，則在區(qū)間上恒成立，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，則有，

當(dāng)，；當(dāng)時，，

故函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（3）由（2）知，，

由于，從而有，化簡得，

即，由于，則有，

令，故有對任意恒成立，

而在上恒成立，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得最小值，即，

因此，所以，因此的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4.分類討論