Question

已知直線(xiàn)l的方程為3x+4y-12=0，求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)l′的方程．
（1）l′與l平行且過(guò)點(diǎn)（-1，3）；
（2）l′與l垂直且l′與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4；
（3）l′是l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線(xiàn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行直線(xiàn)的斜率相等，先求出斜率，點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)方程．
（2）根據(jù)垂直關(guān)系求出直線(xiàn)的額斜率，得到它在坐標(biāo)軸上的截距，根據(jù)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4 求出截距，
即得直線(xiàn)方程．
（3）利用l′是l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線(xiàn)，l′與l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故把直線(xiàn)l方程中的 x換成-x，
y換成-y，即得l′的方程．

解答：解：（1）直線(xiàn)l：3x+4y-12=0，k_l=-

3

4

，又∵l′∥l，∴k_l′=k_l =-

3

4

．
∴直線(xiàn)l′：y=-

3

4

（x+1）+3，即 3x+4y-9=0．
（2）∵l′⊥l，∴l(xiāng)′的 k_l′=

4

3

． 設(shè)l′在y軸上截距為b，則l′的方程為 y=

4

3

x+b，故它在x軸上截距為-

3

4

 b，
由題意可知，S=

1

2

|b|•|-

3

4

b|=4，∴b=±

4

3

6

．
∴直線(xiàn)l′：y=

4

3

x+

4

3

6

，或 y=

4

3

x-

4

3

6

．
（3）∵l′是l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到的直線(xiàn)，∴l(xiāng)′與l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
在l上任取點(diǎn)（x₀，y₀），則在l′上對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x，y）．
x=-x₀，y=-y₀，則-3x-4y-12=0．
∴l(xiāng)′為  3x+4y+12=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線(xiàn)平行和垂直的性質(zhì)，兩平行直線(xiàn)的斜率相等，兩垂直直線(xiàn)的斜率之積等于-1，
以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程的求法．