Question

下面是關(guān)于圓錐曲線的四個(gè)命題：
①拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為y=-

p

2

；
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，a為正常數(shù)，若

|PA|

+

|PB|

=2a，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④平面內(nèi)與定點(diǎn)A（5，0）的距離和定直線l：x=

16

5

的距離之比為

5

4

的點(diǎn)的軌跡方程為

x2

16

-

y2

9

=1．其中所有真命題的序號(hào)為

③④

．

Answer 1

分析：對(duì)于①利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得到其準(zhǔn)線方程．對(duì)于②利用橢圓的定義即可進(jìn)行判斷；對(duì)于③結(jié)合橢圓和雙曲線的離心率的取值范圍即可求解；對(duì)于④，利用動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（5，0）的距離與到定直線x=

16

5

的距離的比是

5

4

可得方程，化簡(jiǎn)由此能求出軌跡M的方程．

解答：解：①拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

；故①錯(cuò)；
②根據(jù)橢圓的定義，只有當(dāng)P到兩定點(diǎn)A、B距離之和大于|AB|即2a＞|

PA

|+|

PB

|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓．②假命題
③方程2x²-5x+2=0的兩根是x=

1

2

＜1，可作為橢圓的離心率；x=2＞1可雙曲線的離心率．③真命題
對(duì)于④，由題意，設(shè)P（x，y），則

(x-5)2+y2

(x- 16 5 )2

=

25

16

，化簡(jiǎn)得軌跡方程是 

x2

16

-

y2

9

=1，正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓、雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．