設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的數(shù)學(xué)公式”的情況有且只有一種，則數(shù)學(xué)公式=________．


分析：由題意畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面圖，設(shè)出圓錐的高，圓柱的高和底面半徑，然后根據(jù)平行關(guān)系建立方程，由滿足條件“圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種知方程有唯一解，利用方程的判別式等于0得圓錐的母線長l與底面半徑r的關(guān)系．
解答：解：由題意畫出軸截面圖，如圖所示，
圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
設(shè)圓錐高為h，內(nèi)接圓柱高為x，底面半徑為y，
∵CD∥AB，∴，∴，則，
∴圓錐的側(cè)面積S1=πrl，圓柱的側(cè)面積S2=2πx•y=．
由圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的得：，
即，也就是．
又“圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種
∴方程有且只有一個(gè)解，
∴△==0，
即．
∵，
∴，
整理得：，∴．
∴圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種時(shí)的．
故答案為．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)體中組合體的關(guān)系，考查了學(xué)生的觀察與分析能力，考查了空間想象能力，解答此題的關(guān)鍵是把題目給出的條件轉(zhuǎn)化成方程有唯一解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)訓(xùn)練了學(xué)生對一元二次方程有唯一解情況的處理，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的
1
4
”的情況有且只有一種，則
r
l
=
3
2
3
2
．

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如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：

(1)設(shè)f(x)為繩子最短長度的平方，求f(x)表達(dá)式；

(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；

(3)f(x)的最大值．

 

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設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種，則=    ．

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解析：設(shè)圓錐母線長為R，底面圓的半徑為r，則r＝Rsin.又底面周長l＝2πr＝Rα，即2πRsin＝Rα，∴α＝2πsin.

∵＜θ＜，∴＜sin＜，∴π＜α＜π.

答案：D

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