Question

10．已知拋物線的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4{t^2}}\\{y=4t}\end{array}}\right.$，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據(jù)點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂=的值，進而根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$，求得答案．

解答 解：拋物線的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=4{t^2}}\\{y=4t}\end{array}}\right.$，普通方程為y²=4x，拋物線焦點為（1，0），且斜率為1，
則直線方程為y=x-1，代入拋物線方程y²=4x得
x²-6x+1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6
根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$
=x₁+x₂+p=6+2=8，
故選C．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)．對學生基礎(chǔ)知識的綜合考查．關(guān)鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可求得|AB|值，從而解決問題．