Question

（1）過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)A、B到l的距離相等．這樣的直線l可作幾條？
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)Q到直線l距離為d．這樣的直線l可作幾條？
（3）與點(diǎn)A、B距離同為d的直線l可作幾條？
（4）過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作幾組？
（5）過(guò)l₁上-A點(diǎn)作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d．這樣的直線l可作幾條？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，可作無(wú)數(shù)條．當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，但點(diǎn)P不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，可作一條，就是直線AB．當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上時(shí)，可作2條．
（2）當(dāng)d＞PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作0條．當(dāng)d=PQ時(shí)，這樣的直線l可作1條．當(dāng)d＜PQ時(shí)，這樣的直線l可作2條．
（3）當(dāng)d＞

1

2

AB時(shí)，與點(diǎn)A、B距離同為d的直線l可作2條，它們都和AB平行；當(dāng)d=

1

2

AB時(shí)，可作3條，當(dāng)d＜

AB

2

時(shí)，可作4條．
（4）當(dāng)d＞AB時(shí)，這樣的直線l₁、l₂可作0條．當(dāng)d=AB時(shí)，這樣的直線l₁、l₂可作2條．d＜AB時(shí)，這樣的直線l₁、l₂可作4條．
（5）當(dāng)d=AB時(shí)，這樣的直線l可作1條；當(dāng)d＜AB時(shí)，這樣的直線l可作2條；當(dāng)d＞AB時(shí)，這樣的直線l可作0條．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作無(wú)數(shù)條．
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，但點(diǎn)P不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作一條，就是直線AB．
當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)A、B到l的距離相等，這樣的直線l可作2條，一條和AB平行，另一條過(guò)線段AB的中點(diǎn)．
（2）當(dāng)d＞PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作0條；
當(dāng)d=PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作1條．
當(dāng)d＜PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使點(diǎn)Q到直線l距離為d，這樣的直線l可作2條，直線PQ正好是這2條直線的角平分線．
（3）當(dāng)d＞

1

2

AB時(shí)，與點(diǎn)A、B距離同為d的直線l可作2條，它們都和AB平行；
當(dāng)d=

1

2

AB時(shí)，與點(diǎn)A、B距離同為d的直線l可作3條，有2條和AB平行，第三條為線段AB的中垂線；
當(dāng)d＜

AB

2

時(shí)，與點(diǎn)A、B距離同為d的直線l可作4條，有2條和AB平行，另外的2條過(guò)線段AB的中點(diǎn)．
（4）當(dāng)d＞AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作0條；
當(dāng)d=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作2條，
d＜AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l₁∥l₂，使l₁、l₂距離為d．這樣的直線l₁、l₂可作4條．
（5）當(dāng)d=AB時(shí)，過(guò)l₁上-A點(diǎn)作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d，這樣的直線l可作1條；
當(dāng)d＜AB時(shí)，過(guò)l₁上-A點(diǎn)作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d，這樣的直線l可作2條；
當(dāng)d＞AB時(shí)，過(guò)l₁上-A點(diǎn)作直線l被兩平行直線l₁、l₂，截得線段為AB，l₁、l₂的距離為d．這樣的直線l可作0條．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．