已知在數(shù)列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N+）
（Ⅰ）求證：數(shù)列數(shù)學(xué)公式是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)學(xué)公式，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn．

解：（Ⅰ）∵a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N+），∴3+-=0，
即-=3，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)、以3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=1+（n-1）3=3n-2，
∴an =．
（Ⅲ）由于==-，
∴數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn =（1-）+（）+（）+…+（-）
=1-=．
分析：（Ⅰ） 由條件可得-=3，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)、以3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=1+（n-1）3=3n-2，從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由于=-，用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Tn 的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比、等差關(guān)系的確定，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
)．
（Ⅰ） 求Sn的表達(dá)式；
（Ⅱ） 設(shè)bn=
Sn
2n+1
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=7，an+1=
7anan+7
，計(jì)算這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，an≠0，（n∈N*）．求證：“{an}是常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•河北區(qū)一模）已知在數(shù)列{an}中，Sn是前n項(xiàng)和，滿足Sn+an=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn=n2an-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{
n+1
n
Sn}是等差數(shù)列；
（2）令bn=（n+1）（1-an），記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1+bn+2+…+b2n＜
4
5
-
1
2n+1
．

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