已知函數(shù)f(x)=(k2-klnx)ex(y為非零常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≥(1+a)x-exlnx+b(b>0),求(a+1)b的最大值.
分析:(1)對f(x)進行求導(dǎo),根據(jù)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,可以得f′(1)=0,代入求得k值,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;
(2)把已知的f(x)的解析式代入不等式f(x)≥(1+a)x-exlnx+b,將問題轉(zhuǎn)化為h(x)=ex-(a+1)x-b≥0,恒成立即可,對h(x)進行求導(dǎo),對a+1與1的大小進行討論求解;
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=(k2-klnx)ex,
∴f′(x)=(k2-klnx-
k
x
)ex,
由題意知f′(1)=0,解得k=1或k=0(舍去)
所以f(x)=(1-lnx)ex,f(x)=(1-lnx-
1
x
)ex,
設(shè)g(x)=1-lnx-
1
x
,則g(x)=-
1
x
+
1
x2
=
1-x
x2

于是g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù),在(1,+∞)內(nèi)為減函數(shù),
所以g(x)在x=1處取得極大值,且g(1)=0;
所以g(x)≤0,故f'(x)≤0所以f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).----(4分)
(Ⅱ) f(x)≥(1+a)x-exlnx+b?h(x)=ex-(a+1)x-b≥0--(6分)
得h'(x)=ex-(a+1)
①當a+1<1時,h'(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上單調(diào)遞增,
∴h(x)>h(0)=1-b≥0,所以0<b≤1.
此時(a+1)b<1.----(7分)
②當a+1=1時,h′(x)>0⇒y=h(x)在R上單調(diào)遞增,
h(x)>h(0)=1-b≥0,可得b≤1,此時(a+1)b最大值為1;
③當a+1>1時,h′(x)>0?x>ln(a+1),h′(x)<0,
?x<ln(a+1),
所以當x=ln(a+1)時,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0
(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2 ln(a+1)(a+1>1)
令a+1=t,t>1
設(shè)F(t)=t2-t2lnt(t>1)
則F′(t)=t(1-2lnt)
F′(t)>0,?1<t<
e
,F(xiàn)′(t)<0
?t>e,
當t=e時,F(xiàn)(t)max=
e
2
,
綜上當a=
e
-1,b=
e
時,(a+1)b的最大值為
e
2
---(12分)
點評:此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,解題過程中用到了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想,是一道綜合性比較強的題,解答過程中要認真仔細的進行計算;
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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