Question

17．如圖，攝影愛好者在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測得頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知攝影愛好者的身高約為$\sqrt{3}$米（將眼睛S距地面的距離SA按$\sqrt{3}$米處理）
（1）求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB
（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=$\sqrt{3}$，在Rt△SAB中，由三角函數(shù)的定義可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函數(shù)的定義可求OC，進而可求OB
（2由題意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，結(jié)合余弦定理可得 $\frac{M{O}^{2}+S{O}^{2}-S{M}^{2}}{2MO•SO}$=-$\frac{N{O}^{2}+S{O}^{2}-S{N}^{2}}{2NO•SO}$，于是得SM²+SN²=26，可求∠MSN的最大值．

解答 解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=$\sqrt{3}$，故在Rt△SAB中，求得BA=3，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，OC=SCtan30°=$\sqrt{3}$，
又BC=SA=$\sqrt{3}$，故OB=2$\sqrt{3}$，即立柱的高度為2$\sqrt{3}$米．…（6分）
（2）∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴$\frac{M{O}^{2}+S{O}^{2}-S{M}^{2}}{2MO•SO}$=-$\frac{N{O}^{2}+S{O}^{2}-S{N}^{2}}{2NO•SO}$，于是得SM²+SN²=26
從而cos∠MSN=$\frac{S{M}^{2}+S{N}^{2}-M{N}^{2}}{2SM•SN}$≥$\frac{S{M}^{2}+S{N}^{2}-M{N}^{2}}{S{M}^{2}+S{N}^{2}}$=$\frac{11}{13}$，
∵∠MSN為銳角，∴∠MSN最大值為arccos$\frac{11}{13}$，

點評 本題考查的是解三角形的應用，解題的關(guān)鍵是準確理解基本概念：仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義及正弦、余弦定理．