Question

5．如果函數(shù)f（x）=sin（2x+θ），函數(shù)f（x）+f'（x）為奇函數(shù)，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則tanθ=-2．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ），∴f′（x）=2cos（2x+θ），
則f（x）+f'（x）=sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
∵f（x）+f'（x）為奇函數(shù)，
∴sin（-2x+θ）+2cos（-2x+θ）=-sin（2x+θ）-2cos（2x+θ），
即-sin（2x-θ）+2cos（2x-θ）=-sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
則-sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ
=-（sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ-sin2xsinθ）
=-sin2xcosθ-cos2xsinθ-2cos2xcosθ+2sin2xsinθ，
即2cos2xsinθ=-4cos2xcosθ，
即sinθ=-2cosθ，
即tanθ=-2，
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式結(jié)合三角函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．